9360. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 4\sqrt{3}
, боковое ребро равно 8\sqrt{3}
. Найдите объём меньшей из частей, на которые разбивает призму плоскость, проходящая через середины рёбер AC
, BC
и центр грани AA_{1}B_{1}B
.
Ответ. 60
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AC
и BC
соответственно, D
— центр грани AA_{1}B_{1}B
. Прямая MN
параллельна плоскости AA_{1}B_{1}B
, так как она параллельна прямой AB
, лежащей в этой плоскости, как средняя линия треугольника ABC
(см. задачу 8002). Тогда плоскость MND
пересекается с плоскостью AA_{1}B_{1}B
по прямой l
, параллельной MN
(см. задачу 8003), а сечение призмы плоскостью MND
— трапеция.
Пусть K
и L
— точки пересечения прямой l
с боковыми рёбрами AA_{1}
и BB_{1}
соответственно, а P
— точка пересечения прямых KM
и CC_{1}
. Тогда K
и L
— середины этих рёбер AA_{1}
и BB_{1}
, а P
— точка пересечения плоскости MND
с прямой CC_{1}
. Из равенства треугольников CNP
и LNB
следует, что
CP=LN=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}.
Тогда PQ=CC_{1}
, т. е. высота треугольной пирамиды KLQP
, проведённая из вершины P
, равна высоте данной призмы.
Обозначим через V
— объём данной призмы. Тогда
V=S_{\triangle ABC}\cdot CC_{1}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot CC_{1}=\frac{(4\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot8\sqrt{3}=288.
Пусть плоскость, проходящая через прямую KL
параллельно плоскостям оснований призмы, пересекает ребро CC_{1}
в точке Q
. Тогда объём призмы ABCKLQ
равен \frac{1}{2}V
.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы треугольных пирамид KLQP
и MNCP
соответственно. Тогда V_{1}=\frac{1}{3}V
, а так как пирамида MNCP
подобна пирамиде KLQP
с коэффициентом 2, то
V_{2}=\frac{1}{8}V_{1}=\frac{1}{24}V.
Значит,
V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V.
Следовательно, объём части призмы ABCKLQ
, содержащей точку A
(т. е. искомый объём меньшей части исходной призмы), равен
\frac{1}{2}V-\frac{7}{24}V=\frac{5}{24}V=\frac{5}{24}\cdot288=60.