9365. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания AB
равна 12, а высота равна 1. На рёбрах AB
, AC
и AS
отмечены точки M
, N
и K
соответственно, причём AM=AN=3
и AK=\frac{7}{4}
.
а) Докажите, что плоскости MNK
и SBC
параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K
до плоскости SBC
.
Ответ. \frac{9\sqrt{39}}{26}
.
Решение. а) Пусть SO
— высота пирамиды. Тогда O
— центр основания ABC
, OA=\frac{2}{3}\cdot\frac{12\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}
. Из прямоугольного треугольника AOS
находим, что
SA=\sqrt{SO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{1^{2}+(4\sqrt{3})^{2}}=7,
поэтому DK=\frac{7}{4}=\frac{1}{4}SA
. Поскольку AM:AB=1:4
и AN:AC=1:4
, прямая KM
параллельна SB
, а так как AM:AB=1:4
и AK:AS=1:4
, то прямая MK
параллельна прямой SB
. Значит, две пересекающиеся прямые плоскости MNK
соответственно параллельны двум прямым плоскости SBC
. Следовательно, эти плоскости параллельны по признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008).
б) Точка K
лежит на наклонной AS
к плоскости SBC
, причём KS:AS=3:4
, значит, расстояние d
от точки K
до плоскости SBC
составляет \frac{3}{4}
расстояния d_{1}
до этой плоскости от точки A
(см. задачу 9180). Пусть L
— середина ребра BC
. Точка O
лежит на наклонной AL
к плоскости SBC
, причём AO:AL=2:3
, значит, расстояние d_{1}
от точки A
до плоскости SBC
в три раза больше расстояния до этой плоскости от точки A
.
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на апофему SL
пирамиды. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости SBC
, так как OH\perp SF
и OH\perp BC
. Значит, расстояние от точки O
до плоскости SBC
равно длине отрезка OH
.
В прямоугольном треугольнике SOL
известно, что
OL=\frac{1}{3}AL=2\sqrt{3},~SO=1,~SL=\sqrt{OL^{2}+SO^{2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}.
Значит,
OH=\frac{OL\cdot SO}{SL}=\frac{2\sqrt{3}\cdot1}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}.
(см. задачу 1967). Следовательно,
d=\frac{3}{4}d_{1}=\frac{3}{4}\cdot3OH=\frac{9}{4}OH=\frac{9}{4}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{9\sqrt{39}}{26}.