9385. Прямоугольник ABCD
со сторонами AB=1
и AD=10
служит основанием пирамиды SABCD
, а ребро SA=4
перпендикулярно основанию. Найдите на ребре AD
такую точку M
, чтобы треугольник SMC
имел наименьший периметр. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ. AM=8
; S_{\triangle SMC}=6
.
Решение. На продолжении ребра AB
за точку A
отложим отрезок AT=SA=4
. Из равенства прямоугольных треугольников AMT
и AMS
(по двум катетам) следует, что SA=MT
, значит, сумма SA+MC=MT+MC
минимальна, если точка M
лежит на отрезке CT
.
Тогда прямоугольные треугольники AMT
, DMC
подобны с коэффициентом \frac{AT}{CD}=4
, поэтому
AM=\frac{4}{5}AD=\frac{4}{5}\cdot10=8.
Пусть SK
— высота треугольника SMC
. По теореме о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707) AK\perp MC
, поэтому AK
— высота прямоугольного треугольника AMT
с катетами AM=8
, AT=4
и гипотенузой
MT=\sqrt{AM^{2}+AT^{2}}=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}.
Значит, (см. задачу 1967),
AK=\frac{AM\cdot AT}{MT}=\frac{8\cdot4}{4\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}},
SK=\sqrt{SA^{2}+AK^{2}}=\sqrt{16+\frac{64}{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}.
Из прямоугольного треугольника DCM
находим, что
MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle SMC}=\frac{1}{2}MC\cdot SK=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{12}{\sqrt{5}}=6.