9390. Сторона основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
равна 4, высота SO
равна 6. Найдите расстояние между прямыми AF
и SC
.
Ответ. 6.
Решение. Поскольку ребро AF
параллельно ребру CD
, прямая AF
параллельна плоскости CSD
, поэтому расстояние между прямыми AF
и SC
равно расстоянию от любой точки прямой AF
до плоскости CSD
. Точка O
— середина наклонной AD
к плоскости CSD
, поэтому расстояние от точки A
до плоскости CSD
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть SM
— высота равнобедренного треугольника CSD
, а OH
— высота прямоугольного треугольника SOM
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости SOM
.
В прямоугольном треугольнике SOM
известно, что
SO=6,~OM=\frac{OC\sqrt{3}}{2}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},~\tg\angle SMO=\frac{OM}{SO}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Значит, \angle OSM=30^{\circ}
, поэтому
OH=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}\cdot6=3.
Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости CSD
, а значит, и расстояние между прямыми AF
и SC
, равно 6.