9392. Дана правильная четырёхугольная пирамиды SABCD
с вершиной S
. Точки M
, K
и P
— середины рёбер AB
, SC
и SA
соответственно. Найдите расстояние между прямыми MK
и DP
, если сторона основания пирамиды равна 4\sqrt{3}
, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^{\circ}
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть L
и N
— середины рёбер SB
и CD
соответственно. Тогда MN\parallel BC\parallel KL
, значит, точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости. Эта плоскость параллельна плоскости ASD
, так как две пересекающиеся прямые MN
и ML
одной из этих плоскостей соответственно параллельны двум пересекающимся прямым AD
и AS
другой (см. задачу 8008). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми MK
и DP
равно расстоянию между этими плоскостями (см. приложение к задаче 7889).
Пусть E
и F
— середины рёбер BC
и AD
соответственно. Тогда \angle FES=60^{\circ}
, поэтому треугольник ESF
равносторонний. Его высота EH
— перпендикуляр к плоскости ASD
, а значит, и к параллельной ей плоскости KLMN
. Эта высота делится пополам плоскостью KLMN
, следовательно, расстояние между этими плоскостями вдвое меньше EH
(см. задачу 9180), т. е. равно
\frac{1}{2}EH=\frac{1}{2}\cdot\frac{FE\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3.