9397. Боковые рёбра DA
, DB
и DC
правильной пирамиды ABCD
попарно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки C
до плоскости, проходящей через точку B
и середины рёбер DA
и DC
, если сторона основания пирамиды равна 6\sqrt{2}
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть P
— точка пересечения медианы DK
грани ADC
со средней линией MN
треугольника ADC
. Тогда P
— середина DK
. Точка N
— середина ребра DC
, поэтому точки C
и D
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Следовательно, задача сводится к вычислению расстояния от точки D
до плоскости BMN
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADB
находим, что
DB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6,
значит, DA=DC=DB=6
. Прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DA
и DC
плоскости ADC
, поэтому BD
— перпендикуляр к плоскости ADC
, а треугольник BDP
прямоугольный. Пусть DH
— его высота. Поскольку DH\perp BP
и DH\perp MN
, то DH
— перпендикуляр к плоскости BMN
. Значит, расстояние от точки D
до плоскости BMN
равно длине отрезка DH
. Далее находим, что
DP=\frac{1}{2}DK=\frac{3}{\sqrt{2}},~BP=\sqrt{BD^{2}+DP^{2}}=\sqrt{36+\frac{9}{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}.
Следовательно (см. задачу 9180),
DH=\frac{DB\cdot DP}{BP}=\frac{6\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}}{\frac{9}{\sqrt{2}}}=2.