9403. Две сферы радиуса R
касаются друг друга и граней двугранного угла, равного 2\alpha
. Найдите радиус сферы, касающейся каждой из данных сфер и граней двугранного угла.
Ответ. \frac{R(1+\sin^{2}\alpha\pm\sin\alpha\sqrt{3+\sin^{2}\alpha})}{\cos^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры касающихся сфер радиуса R
, вписанных в двугранный угол с ребром l
, равный 2\alpha
, O
— центр сферы искомого радиуса r
, вписанной в этот двугранный угол и касающейся указанных сфер. Тогда точки O_{1}
, O_{2}
и O
лежат в плоскости, проходящей через прямую l
, т. е. в биссекторной плоскости \beta
данного двугранного угла.
В сечении сфер и двугранного угла плоскостью \beta
получим прямую l
и три попарно касающихся окружности S_{1}
, S_{2}
, S
с центрами O_{1}
, O_{2}
, O
радиусов R
, R
, r
соответственно. Пусть A
, B
и C
— ортогональные проекции точек O_{1}
, O_{2}
и O
на прямую l
, а O_{1}'
— ортогональная проекция точки O_{2}
на одну из граней данного двугранного угла. Тогда AB=2R
, AC=BC=R
. Из прямоугольного треугольника AO_{1}O_{1}'
находим, что
O_{1}A=\frac{O_{1}O_{1}'}{\sin\angle O_{1}AO_{1}'}=\frac{R}{\sin\alpha}.
Аналогично
O_{2}B=\frac{R}{\sin\alpha},~OC=\frac{r}{\sin\alpha}.
По теореме о трёх перпендикулярах O_{1}A
, O_{1}B
и OC
перпендикулярны прямой l
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию AO_{1}OC
с основаниями O_{1}A=\frac{R}{\sin\alpha}
, OC=\frac{r}{\sin\alpha}
и боковыми сторонами AC=R
и O_{1}O=R+r
. Пусть OH
— высота трапеции. Тогда
O_{1}H=|O_{1}A-HA|=|O_{1}A-OC|=\left|\frac{R}{\sin\alpha}-\frac{r}{\sin\alpha}\right|=\frac{|R-r|}{\sin\alpha}.
По теореме Пифагора O_{1}O^{2}=O_{1}H^{2}+OH^{2}
, или
(R+r)^{2}=\frac{(R-r)^{2}}{\sin^{2}\alpha}+R^{2},~r^{2}\cos^{2}\alpha-2rR(1+\sin^{2}\alpha)+R^{2}.
Отсюда находим, что
r=\frac{R(1+\sin^{2}\alpha\pm\sin\alpha\sqrt{3+\sin^{2}\alpha})}{\cos^{2}\alpha}.