9425. Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
.
Ответ. \frac{3}{\sqrt{5}}
.
Решение. Плоскость CD_{1}E
проходит через прямую CD_{1}
и содержит прямую ED_{1}
, параллельную AB_{1}
(ABD_{1}E_{1}
— параллелограмм). Значит, прямая AB_{1}
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Следовательно, расстояние между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой AB_{1}
, например, от точки A
, до плоскости CD_{1}E
(см. задачу 7889).
Пусть O
— центр основания ABCDEF
, K
— точка пересечения AD
и CE
. Тогда
DK=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2},~AK=\frac{3}{2}=3DK.
Значит, расстояние от точки A
до плоскости CD_{1}E
втрое больше расстояния до этой плоскости от точки D
(см. задачу 9180).
Пусть DH
— высота прямоугольного треугольника KDD_{1}
. Тогда DH
— перпендикуляр к плоскости CD_{1}E
(DH\perp DK
и DH\perp CE
). Значит, расстояние от точки D
до плоскости CD_{1}E
равно длине отрезка DH
. Далее находим, что
D_{1}K=\sqrt{DD_{1}^{2}+DK^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},
DH=\frac{DD_{1}\cdot DK}{D_{1}K}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}
(см. задачу 1967). Следовательно, искомое расстояние между прямыми AB_{1}
и CD_{1}
равно 3DH=\frac{3}{\sqrt{5}}
.