9426. Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равны 1. Найдите расстояние между прямыми BE
и DB_{1}
.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований соответственно ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
данной призмы. Плоскость CDE_{1}B_{1}
проходит через прямую DB_{1}
и содержит прямую B_{1}E_{1}
, параллельную BE
. Значит, прямая BE
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Следовательно, расстояние между прямыми BE
и DB_{1}
равно расстоянию от произвольной точки прямой BE
, например, от точки O
, до плоскости CDE_{1}B_{1}
(см. задачу 7889).
Пусть M
— середина ребра CD
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую MO_{1}
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости CDE_{1}B_{1}
, так как OH\perp MO_{1}
и OH\perp CD
. Далее находим, что
MO_{1}=\sqrt{OO_{1}^{2}+OM^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2},
OH=\frac{OO_{1}\cdot OM}{MO_{1}}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}
(см. задачу 1967). Следовательно, искомое расстояние между прямыми BE
и DB_{1}
равно \sqrt{\frac{3}{7}}
.