9442. Основание ABCDEF
шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник. Объём пирамиды равен 1. Найдите объёмы частей, на которые пирамида разбивается плоскостью, проходящей через точки B
, C
и середину ребра SE
.
Ответ. \frac{13}{36}
и \frac{23}{36}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра SE
. Секущая плоскость и плоскость ESF
проходят через параллельные прямые BC
и EF
, значит, они пересекаются по прямой, проходящей через точку M
параллельно EF
(см. задачу 8004). Пусть N
— точка пересечения этой прямой с ребром SF
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ESF
, значит, N
— середина ребра SF
.
Пусть прямые BC
и ED
, лежащие в плоскости основания пирамиды, пересекаются в точке P
, а прямые MP
и ED
, лежащие в плоскости DSE
— в точке K
. Тогда D
— середина отрезка EP
, C
— середина BC
, а K
— точка пересечения медиан SD
и PN
треугольника ESP
. Следовательно, SK:KD=2:1
. Аналогично строится точка L
пересечения секущей плоскости с ребром SA
. При этом SL:LA=2:1
.
Пусть объём данной пирамиды равен V
, площадь основания равна S
, а высота равна h
. Диагонали AD
, BE
и CF
правильного шестиугольника ABCDEF
пересекаются в его центре O
и разбивают шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников. Значит,
S_{\triangle ABF}=S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=S_{\triangle CDE}=\frac{1}{6}S,
S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEF}=2S_{\triangle EOF}=\frac{1}{3}S,
V_{SABF}=V_{SCDE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CDE}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}Sh=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6}V,
V_{SBEC}=V_{SBEF}=\frac{1}{3}S_{\triangle BEF}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}V.
Следовательно (см. задачу 7244),
V_{SBLN}=V_{SCKM}=\frac{SK}{SD}\cdot\frac{SM}{SE}\cdot V_{SCDE}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}V=\frac{1}{18}V=\frac{1}{18},
V_{SBMN}=\frac{SM}{SE}\cdot\frac{SN}{SF}\cdot V_{SBEF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V=\frac{1}{12},
V_{SBCM}=\frac{SM}{SE}\cdot V_{BCE}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{6}V=\frac{1}{6}.
Пусть V_{1}
— объём пирамиды SBCKMNL
с вершиной S
. Тогда
V_{1}=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{13}{36},
V-V_{1}=1-\frac{13}{36}=\frac{23}{36}.