9447. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Боковое ребро равно стороне основания. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите угол между плоскостями A_{1}C_{1}M
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
Ответ. \arctg\frac{4}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть все рёбра призмы равны 1, K
и K_{1}
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно, N
— середина ребра AB
, L
— точка пересечения BK
и MN
.
Плоскости ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
параллельны, поэтому угол искомый угол между плоскостями A_{1}C_{1}M
и A_{1}B_{1}C_{1}
равен углу между плоскостями A_{1}C_{1}M
и ABC
.
Плоскости A_{1}C_{1}M
и ABC
проходят через параллельные прямые A_{1}C_{1}
и AC
и имеют общую точку M
, значит, они пересекаются по прямой, проходящей через точку M
параллельно AC
, т. е. по прямой MN
. Поскольку LK\perp MN
и LK_{1}\perp MN
(по теореме о трёх перпендикулярах), KLK_{1}
— линейный угол искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника LKK_{1}
находим, что
\tg\angle KLK_{1}=\frac{KK_{1}}{KL}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \angle KLK_{1}=\arctg\frac{4}{\sqrt{3}}
.