9450. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и SC
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M
, N
и B
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S
с центром основания пирамиды?
Ответ. 1:2
, считая от точки S
.
Решение. а) Отрезок MN
— средняя линия треугольника ASC
, поэтому MN\parallel AC
. Через параллельные прямые MN
и AC
проходят плоскость BMN
и плоскость основания пирамиды, имеющие общую точку B
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной BC
. Пусть эта прямая пересекает прямые CD
и FA
в точках G
и H
соответственно, а O
— центр основания. Тогда
CG=AH=OB=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}CD.
Плоскости ASF
и CSD
проходят через параллельные прямые AF
и CD
и имеют общую точку S
. Значит, они пересекаются по прямой, параллельной AF
и CD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой GN
в точке T
. Тогда
ST=CG=AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD,
так как равны треугольники SNT
и CNG
. Теперь построим точку L
пересечения GT
и SD
, точку R
пересечения HT
и SF
, точку P
пересечения TB
и SE
. Искомое сечения — шестиугольник BMRPLN
.
б) Пусть прямые BT
и SO
, лежащие в плоскости BSE
, пересекаются в точке Q
. Тогда Q
— точка пересечения секущей плоскости с прямой SO
. Из подобия треугольников SQT
и OQB
находим, что
SQ:QO=ST:OB=\frac{1}{2}CD:CD=1:2.