9472. Точка M
лежит на ребре AB
треугольной пирамиды ABCD
, причём AM:MB=1:2
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
и середины рёбер BC
и AD
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро CD
?
Ответ. 1:2
, считая от точки D
.
Решение. а) Пусть N
и K
— середины рёбер BC
и AD
соответственно, прямые MN
и AC
, лежащие в плоскости ABC
, пересекаются в точке P
, а прямые PK
и CD
, лежащие в плоскости ADC
, — в точке L
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник MKLN
.
б) Отметим середину E
ребра AB
. Тогда EN
— средняя линия треугольника ABC
, и
\frac{AM}{ME}=\frac{AM}{AE-AM}=\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB-\frac{1}{3}AB}=\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{6}AB}=2.
Из подобия треугольников AMP
и EMN
получаем, что AP=2NE=AC
, т. е. A
— середина отрезка CP
.
Отметим середину F
отрезка CL
. Тогда AF
— средняя линия треугольника CPL
, значит, AF\parallel KL
. Тогда CF=FL=DL
. Следовательно, DL:LC=1:2
.