9487. Постройте сечение треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
плоскостью, проходящей через точку пересечения медиан основания ABC
и центры боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан центр основания ABC
данной треугольной призмы, а N
и K
— центры боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
соответственно.
Поскольку NK
— средняя линия треугольника A_{1}BC_{1}
, прямая NK
параллельна прямой A_{1}C_{1}
, а значит, и плоскостям оснований призмы. Секущая плоскость проходит через прямую NK
, параллельную плоскости ABC
, и имеет с плоскостью ABC
общую точку M
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно NK
(см. задачу 8003), а значит, и AC
.
Пусть BL
— медиана треугольника ABC
, а P
и Q
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AB
и BC
соответственно. Тогда AP:PB=CQ:QB=LM:MB=1:2
.
Пусть E
и F
— точки пересечения прямых PN
и QF
с рёбрами A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
соответственно. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник PEFQ
. Секущая плоскость пересекает параллельные грани ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
призмы по параллельным прямым, следовательно, PEFQ
— трапеция с основаниями PQ
и EF
.
Примечание. Поскольку M
и N
— центры параллелограммов, A_{1}E=BP
и C_{1}F=BQ
. Значит,
B_{1}E:EA_{1}=AP:PB=1:2,~B_{1}F:FC_{1}=CQ:QB=1:2.