9491. Постройте сечение треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
плоскостью, проходящей через центры боковых граней AA_{1}B_{1}B
, BB_{1}C_{1}C
и точку M
ребра BC
, если CM:MB=1:2
.
Решение. Пусть P
и Q
— центры боковых граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
соответственно. Поскольку PQ
— средняя линия треугольника AB_{1}C
, прямая PQ
параллельна прямой AC
, а значит, и плоскостям оснований призмы. Секущая плоскость проходит через прямую PQ
, параллельную плоскости ABC
, и имеет с плоскостью ABC
общую точку M
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно PQ
(см. задачу 8003), а значит, и AC
.
Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром AB
, а L
и K
— точки пересечения прямых MQ
и NP
с рёбрами B_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
соответственно. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник KLMN
. Секущая плоскость пересекает параллельные грани ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
призмы по параллельным прямым, следовательно, KLMN
— трапеция с основаниями MN
и KL
.
Примечание. Очевидно, что
C_{1}L:LA_{1}=A_{1}K:KB_{1}=AN:NB=1:2.