9498. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер A_{1}B_{1}
, CC_{1}
и вершину A
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и CC_{1}
соответственно, P
— точка пересечения прямых AM
и BB_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, K
и Q
— точки пересечения прямой PN
с ребром B_{1}C_{1}
и прямой BC
соответственно, L
— точка пересечения прямой AQ
с ребром CD
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник AMKNL
.
Примечание. Поскольку
B_{1}M=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB
и B_{1}M\parallel AB
, отрезок B_{1}M
— средняя линия треугольника ABP
. Значит, PB_{1}=BB_{1}=CC_{1}
.
Из подобия треугольников PB_{1}K
и NC_{1}K
получаем, что
B_{1}K:KC_{1}=PB_{1}:NC_{1}=CC_{1}:NC_{1}=2:1.
Из равенства треугольников CNQ
и C_{1}NK
получаем, что
CQ=C_{1}K=\frac{1}{3}B_{1}C_{1}=\frac{1}{3}BC,
поэтому CQ:BC=1:3
. Наконец, из подобия треугольников CQL
и BQA
находим, что
CL:CD=CL:AB=CQ:BQ=1:4.
Следовательно, CL:LD=1:3
.