9516. Основание ABCDEF
шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник. Объём пирамиды равен 1. Найдите объём пирамиды, отсекаемой от данной плоскостью, проходящей через точки B
, D
и середину ребра SC
.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Решение. Диагонали AD
, BE
и CF
правильного шестиугольника ABCDEF
пересекаются в одной точке (см. задачу 1859) и разбивают шестиугольник на шесть равных треугольников. Тогда, если O
— точка пересечения указанных диагоналей, то
S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{6}S_{ABCDEF}.
Площадь основания BCD
треугольной пирамиды SBCD
в шесть раз меньше площади основания ABCDEF
данной шестиугольной пирамиды, а высоты этих пирамид, опущенные из общей вершины S
, совпадают, значит, V_{SBCD}=\frac{1}{6}V_{ABCDEF}
.
Пусть M
— середина ребра SC
. Тогда высота треугольной пирамиды MBCD
, опущенная из вершины M
, вдвое меньше высоты треугольной пирамиды SBCD
с тем же основанием, следовательно,
V_{MBCD}=\frac{1}{2}V_{SBCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}V_{SABCDEF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{12}.