9518. Основания ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— шестиугольники, противоположные стороны которых попарно равны и параллельны. Объём призмы равен 1. Найдите объёмы частей, на которые призма разбивается плоскостью, проходящей через вершины A
, C
и D_{1}
.
Ответ. \frac{1}{2}
и \frac{1}{2}
.
Решение. Первый способ. Заметим, что треугольники ABC
и DEF
равны по двум сторонам и углу между ними. Также равны треугольники AA_{1}F_{1}
и F_{1}FA
.
Секущая плоскость разбивает призму на два многогранника: первый из них содержит точку B
, а второй — не содержит. Первый многогранник можно разбить на две призмы: ABCA_{1}B_{1}C_{1}
(с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
) и AA_{1}F_{1}CC_{1}D_{1}
(с основаниями AA_{1}F_{1}
и CC_{1}D_{1}
).
Аналогичным образом можно разбить второй многогранник. При этом призмы, на которые разбит первый многогранник соответственно равны призмам, на которые разбит второй. Следовательно, эти части данной призмы равновелики.
Второй способ. Легко доказать, что диагонали AD_{1}
, BE_{1}
и CF_{1}
пересекаются в одной точке (обозначим её Z
) и делятся ею пополам. Эта точка — центр симметрии призмы, а секущая плоскость разбивает призму на части, симметричные относительно Z
. Значит, эти части равны, а следовательно, равновелики.