9526. Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 1. Найдите объём общей части пирамид ACB_{1}D_{1}
и BDA_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть объём параллелепипеда равен V
. Общая часть пирамид ACB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}BD
— восьмигранник, вершины которого совпадают с центрами граней всех шести граней параллелепипеда (октаэдр). Этот восьмигранник состоит из двух равных четырёхугольных пирамид. Высота каждой из этих пирамид равна половине ребра параллелепипеда, а площадь основания равна половине площади соответствующей грани параллелепипеда. Следовательно, искомый объём равен
2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{6}V=\frac{1}{6}.