9529. Дан единичный куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите расстояние от точки B
до плоскости AB_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Отрезок BA_{1}
делится плоскостью AB_{1}D_{1}
пополам, значит, искомое расстояние от точки B
до плоскости AB_{1}D_{1}
равно расстоянию от этой плоскости до точки A_{1}
(см. задачу 9180).
Известно, что в любом параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ A_{1}C
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника AB_{1}D_{1}
и делится ею в отношении 1:2
, считая от A_{1}
(см. задачу 7212). Известно также, что если параллелепипед является кубом, то диагональ A_{1}C
перпендикулярна плоскости AB_{1}D_{1}
(см. задачу 7300). Следовательно, расстояние A_{1}M
, а значит, и расстояние от точки B
до плоскости AB_{1}D_{1}
равно \frac{\sqrt{3}}{3}
.