9560. Площадь ортогональной проекции некоторого параллелепипеда на плоскость одной из его граней в два раза больше площади этой грани, площадь его ортогональной проекции на плоскость другой грани в полтора раза больше площади этой грани, и, наконец, площадь его ортогональной проекции на плоскость третьей грани равна площади этой грани. Найдите плоские углы в гранях данного параллелепипеда.
Ответ. В четырёх гранях все углы по 90^{\circ}
; в двух гранях — 45^{\circ}
и 135^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед. Обозначим AD=a
, AB=b
, AA_{1}=c
.
Пусть площадь ортогональной проекции параллелепипеда на плоскость грани ABCD
равна площади этой грани. Тогда эта грань является ортогональной проекцией грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Значит рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
перпендикулярны рассматриваемым граням. Следовательно, грани AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
, BB_{1}C_{1}C
и CC_{1}D_{1}D
— прямоугольники.
Пусть площадь ортогональной проекции параллелепипеда на плоскость грани AA_{1}D_{1}D
в полтора раза больше площади этой грани, а P
и Q
— ортогональные проекции вершин соответственно B
и B_{1}
на плоскость этой грани. По доказанному данный параллелепипед прямой, поэтому точки P
и Q
лежат на прямых AD
и A_{1}D_{1}
соответственно. Пусть острый угол ADC
в грани ABCD
равен \alpha
. Тогда
AP=AB\cos\alpha=b\cos\alpha,~DP=AD+AP=a+b\cos\alpha.
Значит,
\frac{3}{2}ac=S_{DD_{1}QP}=DD_{1}\cdot DP_{1}=c(a+b\cos\alpha).
Аналогично получим, что 2bc=c(b+a\cos\alpha)
. Таким образом, имеем систему уравнений
\syst{a+b\cos\alpha=\frac{3}{2}a\\b+a\cos\alpha=2b,\\}
или
\syst{b\cos\alpha=\frac{1}{2}a\\a\cos\alpha=b,\\}
откуда находим, что \cos^{2}\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно, \alpha=45^{\circ}
.