9561. Основанием пирамиды PABCD
является ромб ABCD
с меньшей диагональю AC
. Ребро PD
перпендикулярно плоскости основания.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной AC
и проходящей через вершину D
и середину ребра PB
.
б) Найдите расстояние между прямыми CD
и PB
, если BC=5\sqrt{2}
, PD=12
, \angle ABC=45^{\circ}
.
Ответ. \frac{60}{13}
.
Решение. а) Плоскость ABC
проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку D
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку D
параллельно AC
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекается с прямыми AB
и BC
в точках E
и F
соответственно. Тогда AE=CD=AB
и CF=AD=BC
, т. е. точки A
и C
— середины отрезков BE
и BF
.
Пусть прямая ME
пересекает ребро AP
в точке K
, а прямая MF
пересекает ребро CP
в точке L
. Тогда искомое сечение — четырёхугольник DKML
. Действительно, плоскость сечения проходит через точки D
и M
и содержит прямую EF
, параллельную AC
. (Заметим, что EM
и PA
— медианы треугольника BPE
, а K
— точка их пересечения, значит, PK:KA=2:1
. Аналогично PL:LC=2:1
.)
б) Плоскость APB
проходит через прямую PB
и прямую AB
, параллельную CD
, значит, расстояние между прямыми CD
и PB
равно расстоянию от любой точки прямой CD
до плоскости APB
(см. задачу 7889), например, от точки D
.
Пусть DQ
— перпендикуляр, опущенный из точки D
на прямую AB
. Тогда PE\perp AB
по теореме о трёх перпендикулярах. Тогда прямая AB
перпендикулярна плоскости DPQ
, а значит, и высоте PH
прямоугольного треугольника DPQ
, опущенной на гипотенузу PQ
. Прямая DH
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и PQ
плоскости APB
, следовательно, DH
— перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, расстояние между прямыми CD
и PB
равно длине отрезка DH
.
Из прямоугольных треугольников ADQ
и DPQ
находим, что
DQ=AD\sin\angle ADQ=5\sqrt{2}\sin45^{\circ}=5,
PQ=\sqrt{DQ^{2}+PD^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13,
DH=\frac{DQ\cdot PD}{PQ}=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}
(см. задачу 1967).