9574. Точка A
лежит на окружности верхнего основания цилиндра, B
— наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, C
— точка на окружности нижнего основания. Найдите AB
, если AC=12
, BC=5
.
Ответ. 13.
Решение. Пусть A'
— ортогональная проекция точки A
на нижнее основание цилиндра, а B'
— произвольная точка окружности этого основания. Тогда AB'=\sqrt{A'A^{2}+A'B'^{2}}
Поскольку длина A'A
не зависит от положения точки B'
, длина AB'
принимает наибольшее значение, если A'B'
— диаметр нижнего основания. Таким образом, указанная в условии точка B
диаметрально противоположна точке A'
.
Заметим, что при любом расположении точки C
на окружности нижнего основания отрезок A'C
— ортогональная проекция наклонной AC
на плоскость этого основания. Тогда, так как угол A'CB
прямой, то угол ACB
также прямой (по теореме о трёх перпендикулярах). Следовательно, из прямоугольного треугольника ACB
находим, что
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.