9578. В сечении куба плоскостью получился шестиугольник, диагонали которого, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Обязательно ли это сечение проходит через центр куба?
Ответ. Да, обязательно.
Решение. Рассмотрим куб
ABCDA'B'C'D'
и какое-нибудь его шестиугольное сечение
MNPQRT
(см. рис.). Предположим, что диагонали
RN
,
MQ
и
TP
шестиугольника пересекаются в некоторой точке
O
.
Первый способ. Заметим, что прямая
RN
лежит в плоскости диагонального сечения
BCA'D'
, а прямая
MQ
— в плоскости сечения
ABC'D'
. Следовательно, их общая точка
O
принадлежит
BD'
— прямой, по которой пересекаются указанные плоскости. Аналогично докажем, что точка
O
пересечения прямых
RN
и
PT
лежит на прямой
CA'
. Значит,
O
— точка пересечения диагоналей
BD'
и
CA'
куба, т. е. его центр.
Второй способ. Противоположные стороны данного сечения попарно параллельны (см. задачу 8009). Следовательно, данное сечение разбивается его диагоналями
RN
,
MQ
и
PT
на три пары подобных треугольников:
MON
и
QOR
,
NOP
и
ROT
,
POQ
и
TOM
. Тогда
\frac{MN}{QR}=\frac{ON}{OR}=\frac{NP}{RT}=\frac{OP}{OT}=\frac{PQ}{TM}=\frac{OQ}{OM}=\frac{QR}{MN}.

Из равенства первого и последнего отношений получим, что
MN=QR
. Аналогично доказывается, что
NP=RT
и
PQ=TM
, т. е. выписанные ранее пары треугольников не только подобны, но и равны. Тогда
O
— центр симметрии сечения.
Рассмотрим симметрию пространства с центром
O
. При этой симметрии образом точки
M
является точка
R
, поэтому образом прямой
AB
, проходящей через
M
, является ей параллельная прямая, проходящая через точку
R
, т. е. прямая
C'D'
. Аналогично доказывается, что и остальные прямые, содержащие рёбра куба, попарно симметричны относительно
O
. Таким образом, при симметрии с центром
O
куб переходит в себя, значит, точка
O
— центр симметрии куба (точка пересечения диагоналей).
Примечание. Отметим, что во втором способе решения попутно доказан следующий факт: если противолежащие стороны шестиугольника попарно параллельны, а диагонали пересекаются в одной точке, то эта точка — центр симметрии шестиугольника.