9583. В пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу. Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней пирамиды равны.
Решение. Первый способ. Пусть SABCD
— данная пирамида (рис. 1); K
, L
, M
, N
и P
— точки касания вписанной сферы с гранями SAB
, SBC
, SCD
, SAD
и ABCD
. Тогда \triangle SMD=\triangle SND
(сторона SD
— общая, SM=SN
и DN=DM
как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки). Аналогично, \triangle SNA=\triangle SKA
, \triangle SKB=\triangle SLB
, \triangle SLC=\triangle SMC
. Кроме того, \triangle DMC=\triangle DPC
, \triangle AND=\triangle APD
, \triangle AKB=\triangle APB
и \triangle BLC=\triangle BPC
.
Поскольку ABCD
— параллелограмм, для любой внутренней точки P
справедливо равенство
S_{\triangle APD}+S_{\triangle BPC}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle DPC}
(см. задачу 3016), следовательно,
S_{\triangle AND}+S_{\triangle BLC}=S_{\triangle AKB}+S_{\triangle DMC}.
Переходя от равенства треугольников к равенству их площадей, получим, что
S_{\triangle ASD}+S_{\triangle BSC}=(S_{\triangle AND}+S_{\triangle SNA}+S_{\triangle SND})+(S_{\triangle BLC}+S_{\triangle SLB}+S_{\triangle SLC})=
=S_{\triangle ANB}+S_{\triangle BLC}+S_{\triangle SKA}+S_{\triangle SMD}+S_{\triangle SKB}+S_{\triangle SMC}=
=(S_{\triangle AKB}+S_{\triangle SKA}+S_{\triangle SKB})+(S_{\triangle DMC}+S_{\triangle SMD}+S_{\triangle SMC})=
=S_{\triangle ASB}+S_{\triangle DSC}.
Что и требовалось доказать.
(Заметим, что из равенства треугольников, примыкающих к боковым рёбрам пирамиды, следует также, что
\angle ASB+\angle CSD=\angle ASD+\angle BSC.)
Второй способ. Пусть SABCD
— данная пирамида (рис. 2). Поскольку в четырёхгранный угол SABCD
можно вписать сферу,
\angle ASB+\angle CSD=\angle ASD+\angle BSC.
Разрежем пирамиду по рёбрам и склеим треугольники SAB
и SCD
по равным сторонам AB
и CD
, а треугольники SBC
и SDA
— по равным сторонам BC
и AD
(рис. 3). В результате получим два таких четырёхугольника со сторонами a=SA
, b=SB
, c=SC
и d=SD
, что сумма противоположных углов между сторонами, равными a
и b
, c
и d
одного равна сумме углов между сторонами a
и d
, b
и c
другого. Равенство их площадей следует из следующей леммы.
Лемма. Площадь четырёхугольника зависит только от длин его сторон (рис. 4) и косинуса суммы любой пары противоположных углов.
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике KLMN
стороны KL
, LM
, MN
и NK
равны x
, y
, z
и t
соответственно, а углы K
и M
— \alpha
и \beta
. Выразим удвоенную площадь четырёхугольника KLMN
:
2S=xt\sin\alpha+yz\sin\beta.
Применим теорему косинусов к треугольникам KLN
и MLN
:
x^{2}+t^{2}-2xt\cos\alpha=y^{2}+z^{2}-2yz\cos\beta,
\frac{x^{2}+t^{2}-y^{2}-x^{2}}{2}=xt\cos\alpha-yz\cos\beta.
Возведём полученные равенства в квадрат и сложим их:
4S^{2}=x^{2}t^{2}\sin^{2}\alpha+2xyzt\sin^{2}\alpha\sin\beta+y^{2}z^{2}\sin^{2}\beta,
\left(\frac{x^{2}+t^{2}-y^{2}-z^{2}}{2}\right)^{2}=x^{2}t^{2}\cos^{2}\alpha-2xyzt\cos\alpha\cos\beta+y^{2}z^{2}\cos^{2}\beta,
4S^{2}+\left(\frac{x^{2}+t^{2}-y^{2}-z^{2}}{2}\right)^{2}=x^{2}t^{2}+y^{2}z^{2}-2xyzt\cos(\alpha+\beta),
S=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}t^{2}+y^{2}z^{2}-2xyzt\cos(\alpha+\beta)-\left(\frac{x^{2}+t^{2}-y^{2}-z^{2}}{2}\right)^{2}}.
Получили требуемое выражение для площади. Что и требовалось доказать.