9589. Докажите, что объём шарового сектора можно вычислить по формуле
V=\frac{2}{3}\pi R^{2}h,
где R
— радиус шара, h
— высота соответствующего шарового сегмента.
Решение. Пусть V_{1}
— объём соответствующего шарового сегмента, а V_{2}
— объём конуса, основание которого совпадает с основанием шарового сегмента, а вершина — с центром шара. Тогда (см. задачу 9063)
V_{1}=\pi h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right),~V_{2}=\frac{1}{3}\pi(R^{2}-(R-h)^{2})(R-h)=\frac{1}{3}\pi(2Rh-h^{2})(R-h)=
=\frac{1}{3}\pi h(2R-h)(R-h)=\frac{1}{3}\pi h(2R^{2}-3Rh+h^{2}).
(см. задачу 9063). Следовательно,
V=V_{1}+V_{2}=\pi h^{2}\left(R-\frac{1}{3}h\right)+\frac{1}{3}\pi h(2R^{2}-3Rh+h^{2})=
=\pi h\left(Rh-\frac{1}{3}h^{2}+\frac{2}{3}R^{2}-Rh+\frac{1}{3}h^{2}\right)=\frac{2}{3}\pi R^{2}h.
Что и требовалось доказать.