9596. В основании правильной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину B
и середину ребра PD
перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60^{\circ}
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ. 12\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть M
— середина бокового ребра PD
. Прямая BM
лежит в плоскости сечения, поэтому BM\perp PD
. Значит, в треугольнике BPD
медиана BM
является высотой. Тогда PB=BD
, а так как пирамида правильная, то PD=PB
. Следовательно, треугольник BPD
равносторонний, \angle PBD=60^{\circ}
. Плоскость BPD
проходит через высоту PO
пирамиды, поэтому угол бокового ребра с плоскостью основания — это угол PBD
.
б) По доказанному PA=PB=PC=PD=BD=6\sqrt{2}
. Пусть секущая плоскость пересекает рёбра PA
и PC
в точках X
и Y
соответственно. Прямые MX
и MY
лежат в плоскости, перпендикулярной PD
, значит, треугольники PMX
и PMY
прямоугольные.
Обозначим \angle APD=\angle BPC=\alpha
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{PA^{2}+PD^{2}-AD^{2}}{2PA\cdot PD}=\frac{72+72-36}{2\cdot6\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}}=\frac{3}{4}.
Из прямоугольного треугольника PMX
находим, что
PX=\frac{PM}{\cos\alpha}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{4}}=4\sqrt{2}.
Аналогично PY=4\sqrt{2}
, поэтому
\frac{PX}{PA}=\frac{PY}{PC}=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}.
Значит, искомое сечение — четырёхугольник BXMY
с диагоналями XY
и BM
, XY\parallel AC
, и треугольник XPY
подобен треугольнику APC
с коэффициентом \frac{2}{3}
. Следовательно,
XY=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot6\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Прямая AC
перпендикулярна плоскости BPD
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым BD
и PO
плоскости. Значит, прямая XY
также перпендикулярна плоскости BPD
. Следовательно, XY\perp BM
.
Отрезок BM
— высота равностороннего треугольника BPD
со стороной 6\sqrt{2}
, поэтому
BM=\frac{BD\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, следовательно,
S_{BXMY}=\frac{1}{2}BM\cdot XY=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{6}\cdot4\sqrt{2}=12\sqrt{3}.