9611. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны a
и b
(a\gt b
). Рассматриваются конусы, вершины которых находятся в центре большего основания усечённой пирамиды, а основания вписаны в сечения пирамиды плоскостями, параллельными её основаниям. Найдите наибольший объём рассматриваемых конусов, если угол наклона боковой грани усечённой пирамиды к плоскости её большего основания равен \gamma
.
Ответ. При b\lt\frac{2}{3}a
наибольшее значение равно \frac{\pi a^{3}\tg\gamma}{162}
;
при b\geqslant\frac{2}{3}a
оно равно \frac{\pi(a-b)b^{2}\tg\gamma}{24}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры соответственно большего ABCD
и меньшего A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
оснований данной усечённой пирамиды с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
; E
и E_{1}
— середины рёбер соответственно BC
и B_{1}C_{1}
, E_{2}
— точка пересечения отрезка EE_{1}
со стороной сечения, параллельного основаниям, а O_{2}
— центр квадрата сечения.
В прямоугольной трапеции OO_{1}E_{1}E
известно, что \angle OEE_{1}=\gamma
, OE=\frac{a}{2}
и O_{1}E_{1}=\frac{b}{2}
. Обозначим через x
— высоту OO_{2}
конуса, r(x)
— радиус основания конуса, через V(x)
— объём конуса, через h
— высоту усечённой пирамиды. Тогда
h=OO_{1}=\frac{a-b}{2}\tg\gamma,~r(x)=OE-x\ctg\gamma=\frac{a}{2}-x\ctg\gamma,~
V(x)=\frac{1}{3}\pi r(x)^{2}x=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{2}-x\ctg\gamma\right)^{2}\cdot x=\frac{1}{3}\pi\cdot x\left(\frac{a}{2}-x\ctg\gamma\right)^{2}.
Нужно найти наибольшее значение функции V(x)
на интервале (0;h)
, причём h=\frac{a-b}{2}\tg\gamma
.
Имеем:
V'(x)=\frac{1}{3}\pi\left(\left(\frac{a}{2}-x\ctg\gamma\right)^{2}-2x\left(\frac{a}{2}-x\ctg\gamma\right)\ctg\gamma\right)=
=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{2}-x\ctg\gamma\right)\left(\frac{a}{2}-3x\ctg\gamma\right)=\pi\ctg^{2}\gamma\left(x-\frac{a}{2}\tg\gamma\right)\left(x-\frac{a}{6}\tg\gamma\right).
Получим две критические точки \frac{a\tg\gamma}{6}
и \frac{a\tg\gamma}{2}
Ясно, что \frac{a\tg\gamma}{6}\lt\frac{a\tg\gamma}{2}
и \frac{a\tg\gamma}{2}\gt h=\frac{a-b}{2}\tg\gamma
.
Рассмотрим случай, когда точка \frac{a\tg\gamma}{6}
лежит на промежутке (0;h)
. Если 0\lt x\lt\frac{a\tg\gamma}{6}
производная функции V(x)
положительна, значит, V(x)
возрастает. Если \frac{a\tg\gamma}{6}\lt x\leqslant h
, производная V'(x)
отрицательна, значит, функция V(x)
убывает. Следовательно, в точке x=\frac{a\tg\gamma}{6}
функция V(x)
принимает наибольшее значение на промежутке (0;h)
. Это бывает, если \frac{a\tg\gamma}{6}\lt\frac{a-b}{2}\tg\gamma
, т. е. при b\lt\frac{2}{3}a
. Тогда
V_{\max}=V\left(\frac{a\tg\gamma}{6}\right)=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a\tg\gamma}{6}\left(\frac{a}{2}-\frac{a\tg\gamma}{6}\cdot\ctg\gamma\right)^{2}=\frac{\pi a^{3}\tg\gamma}{162}.
Если же b\geqslant\frac{2}{3}
, то для 0\lt x\leqslant h
производная V'(x)
положительна, значит, на этом промежутке функция V(x)
возрастает. Следовательно, наибольшего значения она достигает в точке h=\frac{a-b}{2}\tg\gamma
. Тогда
V_{\max}=V\left(\frac{a-b}{2}\tg\gamma\right)=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a-b}{2}\tg\gamma\left(\frac{a}{2}-\frac{a-b}{2}\tg\gamma\cdot\ctg\gamma\right)^{2}=\frac{\pi(a-b)b^{2}\tg\gamma}{24}.