9613. Точка O
— центр грани ABCD
куба с ребром a
. Найдите наименьшее значение суммы OE+EA_{1}
, если точка E
лежит на отрезке AB
.
Ответ. \frac{a\sqrt{10}}{2}
.
Решение. Развернём грань ABB_{1}A_{1}
на плоскость грани ABCB
и рассмотрим прямоугольник CDA_{1}'B_{1}'
со сторонами CD=a
и DA_{1}'=2a
. Поскольку EA_{1}=EA_{1}'
, сумма OE+EA_{1}
равна сумме OE+EA_{1}'
, которая принимает наименьшее значение, если точки O
, E
и A_{1}'
лежат на одной прямой. В этом случае искомое минимальное значение равно длине отрезка OA_{1}'
Пусть P
— середина AD
. По теореме Пифагора находим, что
OA_{1}'=\sqrt{OP^{2}+A_{1}'P^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3a}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}.