9614. Длина ребра куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна 4. На ребре AA_{1}
взята точка E
, а на ребре BB_{1}
— точка F
, причём AE=B_{1}F=1
. Точки G
и H
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
соответственно. Найдите наименьшее значение суммы CP+PQ
, где точка P
принадлежит отрезку GH
, а точка Q
— отрезку EF
.
Ответ. 2\sqrt{\frac{69}{5}}
.
Решение. Рассмотрим куб A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
, симметричный данному относительно плоскости грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда CP=C_{2}P=D_{2}P
, значит, задача на нахождение минимального значения суммы CP+PQ
сводится к задаче на нахождение минимального значения суммы D_{2}P+PQ
при тех же условиях на точки P
и Q
.
Пусть T
— точка пересечения AM
и BG
, M
— середина BB_{1}
, а \angle B_{1}BG=\alpha
. Тогда AM\parallel EF
, а из равенства треугольников B_{1}BG
и BAM
следует, что \angle BAM=\alpha
. Тогда из треугольника ATB
находим, что
\angle ATB=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. AM\perp BG
. Следовательно, EF\perp BG
.
Пусть Q_{1}
— точка пересечения EF
и BG
, а прямая EF
пересекает прямые A_{1}B_{1}
в точках K
и L
соответственно. Прямоугольные треугольники KB_{1}F
и LAE
подобны прямоугольному треугольнику BB_{1}G
, в котором меньший катет BG
вдвое больше большего катета BB_{1}
. Значит,
AL=B_{1}K=2BF=2,~GK=GB_{1}+B_{1}K=2+2=4,~LB=LA+AB=2+4=6.
Из подобия прямоугольных треугольников KQ_{1}G
и LQ_{1}B
получаем, что \frac{Q_{1}G}{Q_{1}B}=\frac{GK}{LB}=\frac{2}{3}
.
Треугольники GA_{1}A_{2}
и GB_{1}B
равны, поэтому точки G
и Q_{1}
лежат на отрезке A_{2}B
, причём \frac{A_{2}Q_{1}}{A_{2}B}=\frac{7}{10}
.
Пусть P_{1}
— точка пересечения прямых GH
и D_{2}Q_{1}
, лежащих в плоскости BCD_{2}A_{2}
. Прямая EF
перпендикулярна пересекающимся прямым A_{2}B
и BC
этой плоскости, значит, прямая EF
перпендикулярна прямой P_{1}Q_{1}
. Если P
и Q
— произвольные точки, удовлетворяющие условию задачи, то
CP+PQ=D_{2}P+PQ\geqslant D_{2}E\geqslant D_{2}Q_{1}=D_{2}P_{1}+P_{1}Q_{1}.
Это означает, что P_{1}
и Q_{1}
— искомые точки, а искомая минимальная сумма равна длине отрезка D_{2}Q_{1}
.
Из прямоугольного треугольника ABA_{2}
находим, что
BA_{2}=\sqrt{AB^{2}+AA_{2}^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}.
Тогда
A_{2}Q_{1}=\frac{7}{10}BA_{2}=\frac{7}{10}\cdot4\sqrt{5}=\frac{14\sqrt{5}}{5},
D_{2}Q_{1}=\sqrt{A_{2}Q_{1}^{2}+A_{2}D_{2}^{2}}=\sqrt{\frac{196}{5}+16}=2\sqrt{\frac{49}{5}+4}=2\sqrt{\frac{69}{5}}.