9619. Из произвольной точки основания правильной пирамиды восставлен перпендикуляр. Докажите, что сумма отрезков от основания перпендикуляра до пересечения с боковыми гранями или их продолжениями — величина постоянная.
Решение. Пусть M
— точка внутри основания правильной пирамиды SA_{1}\dots A_{n}
с вершиной S
, N_{1}
— точка пересечения перпендикуляра, восставленного из точки M
к плоскости основания, с плоскостью грани A_{1}SA_{2}
, \varphi
— угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания.
Опустим перпендикуляр N_{1}H_{1}
из точки N_{1}
на прямую A_{1}A_{2}
. По теореме о трёх перпендикулярах MH_{1}\perp A_{1}A_{2}
, значит, MH_{1}N_{1}
— линейный угол двугранного угла при ребре A_{1}A_{2}
пирамиды, поэтому \angle MH_{1}N_{1}=\varphi
. Из прямоугольного треугольника MH_{1}N_{1}
получаем, что MN_{1}=MH_{1}\tg\varphi
.
Аналогично, определив точки N_{2}
, …, N_{n}
и H_{2}
, …, H_{n}
, получим, что MN_{n}=MH_{n}\tg\varphi
. Тогда
MN_{1}+\dots+MN_{n}=MH_{1}\tg\varphi+\dots+MH_{n}\tg\varphi=(MH_{1}+\dots+MH_{n})\tg\varphi.
Выражение в скобках постоянно (см. примечание к задаче 4024), следовательно, постоянна и сумма MN_{1}+\dots+MN_{n}
.