9622. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше 180^{\circ}
, то каждое её боковое ребро меньше полупериметра основания.
Решение. Пусть S
— вершина данной пирамиды AA_{1}\dots A_{n}
. Разрежем её боковую поверхность по ребру SA_{1}
и развернём на плоскость (см. рис.). Тогда периметр основания пирамиды — это сумма звеньев ломаной A_{1}\dots A_{n}A_{1}'
, причём SA_{1}'=SA_{n}
. Из условия задачи следует, что точка S
лежит внутри многоугольника A_{1}\dots A_{n}A_{1}'
.
Пусть B
— точка пересечения продолжения отрезка SA_{1}
со стороной этого многоугольника, а a
и b
— периметры ломаных A_{1}A_{2}\dots B
и B\dots A_{n}A_{1}'
соответственно. Тогда
A_{1}S+SB\lt a,~A_{1}S=A_{1}'S\lt SB+b,
откуда 2A_{1}S\lt a+b
. Следовательно,
A_{1}S\lt\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}(A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+\dots+A_{n}A_{1}),
а так как вместо ребра SA_{1}
можно взять любое другое боковое ребро пирамиды, утверждение доказано.