9637. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, диагональ AC_{1}
которого равна d
, а объём равен V
. Докажите, что из отрезков, равных расстояниям от вершин A_{1}
, B
и D
до диагонали AC_{1}
, можно составить треугольник и что, если S
— площадь этого треугольника, то V=2dS
.
Решение. Диагональ AC_{1}
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника BA_{1}D
и делится этой точкой в отношении AM:MC_{1}=1:2
(см. задачу 7212). Значит, AN=\frac{1}{3}d
.
На продолжении отрезка BM
за точку M
отложим отрезок MK
, равный BM
. Рассмотрим треугольную призму MKDANP
с боковыми рёбрами MA
, KN
и DP
. Стороны A'N'
, M'K'
и D'A'
её перпендикулярного сечения M'K'D'
соответственно равны расстояниям от точек A_{1}
, B
и D
до прямой AC_{1}
. Следовательно, из отрезков, равных указанным в условии расстояниям, можно составить треугольник.
Объём призмы MKDANP
равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310), т. е. \frac{1}{3}Sd
, а так как площадь треугольника MDK
в три раза меньше площади треугольника BA_{1}D
, а высота у них одна и та же, то объём пирамиды ABA_{1}D
также равен \frac{1}{3}Sd
. При этом объём пирамиды ABA_{1}D
в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, поэтому \frac{1}{6}V=\frac{1}{3}Sd
. Отсюда получаем, что V=2Sd
.