9653. Дан куб с ребром a
. Концы отрезка, пересекающего ребро C_{1}D_{1}
, лежат на прямых AA_{1}
и BC
. Какую наименьшую длину может иметь этот отрезок?
Ответ. 3a
.
Решение. Пусть концы M
и N
рассматриваемого отрезка лежат на прямых AA_{1}
и CC_{1}
соответственно, а L
— его точка пересечения с ребром C_{1}D_{1}
. Заметим, что M
лежит на продолжении ребра AA_{1}
за точку A_{1}
, а N
— на продолжении ребра BC
за точку C
.
Обозначим AM=x
, BN=y
. Рассматривая ортогональные проекции куба и отрезка MN
на плоскости AA_{1}B
и ABC
, получим, что
\frac{C_{1}L}{LD_{1}}=\frac{BB_{1}}{MA_{1}}=\frac{a}{x-a}~\mbox{и}~\frac{C_{1}L}{LD_{1}}=\frac{CN}{AD}=\frac{y-a}{a}.
Из равенства \frac{a}{x-a}=\frac{y-a}{a}
получаем, что \frac{xy}{x+y}=a
. Известно (см. задачи 3340, 3341, 3342), что для любых положительных x
и y
верно неравенство \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geqslant\frac{2xy}{x+y}
(среднее квадратичное не меньше среднего геометрического), причём равенство достигается при x=y
. В нашем случае \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geqslant2a
. Тогда
MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}=AM^{2}+BN^{2}+AB^{2}=x^{2}+y^{2}+a^{2}\geqslant8a^{2}+a^{2}=9a^{2}.
Следовательно, MN\geqslant3a
, причём равенство достигается при AM=BN=x=y=2a
.