9656. а) Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади граней тетраэдра; P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
— площади граней его описанного параллелепипеда (см. задачу 7041). Докажите, что
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=P_{1}+P_{2}+P_{3}.
б) Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
и h_{4}
— высоты тетраэдра; d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
— расстояния между его противолежащими рёбрами. Докажите, что
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\frac{1}{d_{3}}.
Решение. а) Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— двугранные углы при рёбрах AB
, AD
и BD
тетраэдра ABCD
, а S_{1}
— площадь грани ABD
. Тогда (см. задачу 8205)
S_{1}=S_{2}\cos\alpha+S_{3}\cos\beta+S_{4}\cos\gamma.
Кроме того, если \varphi
— угол между скрещивающимися прямыми AB
и CD
, то (см. задачу 9654)
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{1}\cdot S_{2}\cos\alpha=\left(\frac{1}{2}AB\cdot CD\sin\varphi\right)^{2}=P_{1}^{2}.
Аналогично
S_{1}^{2}+S_{3}^{2}-2S_{1}\cdot S_{3}\cos\beta=P_{2}^{2},
S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2S_{2}\cdot S_{3}\cos\gamma=P_{1}^{3}.
Следовательно,
P_{1}+P_{2}+P_{3}=
=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{1}\cdot S_{2}\cos\alpha+S_{1}^{2}+S_{3}^{2}-2S_{1}\cdot S_{3}\cos\beta+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2S_{2}\cdot S_{3}\cos\gamma=
=S_{2}+S_{3}+S_{4}-2S_{1}(S_{2}\cos\alpha+S_{3}\cos\beta+S_{4}\cos\gamma)=S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}.
б) Пусть V
— объём тетраэдра. Тогда V=\frac{1}{3}S_{1}h_{1}
, откуда S_{1}=\frac{3V}{h_{1}}
. Аналогично
S_{2}=\frac{3V}{h_{2}},~S_{3}=\frac{3V}{h_{3}},~S_{4}=\frac{3V}{h_{4}}.
Значит,
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=\frac{3V}{h_{1}}+\frac{3V}{h_{2}}+\frac{3V}{h_{3}}+\frac{3V}{h_{4}}=3V\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\right).
С другой стороны, объём тетраэдра втрое меньше объёма его описанного параллелепипеда (см. задачу 9265а), поэтому V=\frac{1}{3}P_{1}d_{1}
, откуда P_{1}=\frac{3V}{d_{1}}
. Аналогично
P_{2}=\frac{3V}{d_{2}},~P_{3}=\frac{3V}{d_{3}}.
Значит,
P_{1}+P_{2}+P_{3}=\frac{3V}{d_{1}}+\frac{3V}{d_{2}}+\frac{3V}{d_{3}}=3V\left(\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\frac{1}{d_{3}}\right),
а так как
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=P_{1}+P_{2}+P_{3},
то
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}+\frac{1}{d_{3}}.