9657. а) Через вершину A
тетраэдра ABCD
проведены три плоскости, перпендикулярные противоположным рёбрам. Докажите, что все эти плоскости пересекаются по одной прямой.
б) Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и содержащая центр её описанной окружности. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.
Решение. а) Пусть плоскость, проходящая через вершину A
тетраэдра ABCD
перпендикулярно прямой BC
, пересекает эту прямую в точке M
. Тогда DM\perp BC
, т. е. DM
— высота треугольника ABC
. Аналогично для остальных двух плоскостей, о которых говорится в условии. Три эти плоскости различны и имеют общие точки A
и H
, где H
— ортоцентр треугольника BCD
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой AH
.
б) Пусть плоскость \alpha
, проведённая через вершину A
перпендикулярно грани BCD
, пересекает плоскость BCD
по прямой, проходящей через центр O_{1}
окружности, описанной около треугольника BCD
. Известно, что центр O
сферы, описанной около тетраэдра ABCD
, лежит на прямой, проходящей через точку O_{1}
перпендикулярно плоскости BCD
(см. задачу 9056).
С другой стороны, эта прямая проходит через точку, лежащую на прямой пересечения двух перпендикулярных плоскостей, и перпендикулярна одной из них. Значит, она лежит во второй плоскости. Таким образом, плоскость \alpha
проходит через точку O
. Аналогично, через точку O
проходят остальные три плоскости, о которых говорится в условии.