9658. Все грани тетраэдра — подобные между собой прямоугольные треугольники. Найдите отношение наибольшего ребра к наименьшему.
Ответ. \left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^{3}=\sqrt{\sqrt{5}-2}
.
Решение. Пусть BC=a
— длина наибольшего ребра тетраэдра. Тогда в гранях ABC
и BDC
ребро BC
— гипотенуза. При этом либо AB=BD=m
и AC=CD=n
или AB=CD=n
и AC=BD=m
, так как подобные треугольники с равными гипотенузами равны. Пусть шестое ребро AD=b
.
1) Если AB=BD=m
и AC=CD=n
, то ABD
и ACD
— равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AD=b
. Значит, они равны и m=n
. Тогда все грани тетраэдра — равные прямоугольные треугольники, что невозможно, так как грани равногранного тетраэдра — остроугольные треугольники (см. задачу 7268).
2) Пусть теперь AB=CD=n
и AC=BD=m
. Если при этом b=a
, то тетраэдр будет равногранным, что невозможно. Значит, b\lt a
.
Для определённости предположим, что m\gt n
. Треугольники со сторонами a
, m
, n
и m
, n
, b
(в каком-то порядке) подобны. Сторона AD=b
не может быть наибольшей во втором треугольнике, так как тогда треугольники ABD
и CDB
были бы равны по двум катетам, и было бы a=b
, что невозможно. Значит, наибольшая сторона второго треугольника — это сторона BD=m
. Таким образом, либо
\frac{a}{m}=\frac{m}{b}=\frac{n}{n}=1,
и тогда a=b
, что невозможно, либо
\frac{a}{m}=\frac{m}{n}=\frac{n}{b}=\lambda\gt1
(в этом случае a\gt m\gt n
и m\gt n\gt b
, т. е. b
— наименьшее ребро тетраэдра), и тогда
m=\lambda n,~a=\lambda m=\lambda^{2}n,
а так как a^{2}=m^{2}+n^{2}
, то
\lambda^{4}n^{2}=\lambda^{2}n^{2}+n^{2},~\mbox{или}~\lambda^{4}=\lambda^{2}+1,
откуда находим, что \lambda=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
. Следовательно,
\frac{a}{b}=\frac{\lambda^{2}n}{\frac{n}{\lambda}}=\lambda^{3}=\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^{3}.