9663. Пусть ABCD
— трёхзвенная ломаная в пространстве, все звенья которой равны, и \angle BCD=90^{\circ}
. Найдите расстояние от точки A
до середины отрезка BD
, если AD=a
.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть O
— середина отрезка BD
. Обозначим, AB=BC=CD=x
. Из прямоугольного треугольника BCD
находим, что BD=x\sqrt{2}
. Тогда BO=\frac{1}{2}BD=\frac{x\sqrt{2}}{2}
. Треугольник ABO
подобен треугольнику DBA
по двум сторонам и углу между ними, так как
\angle ABO=\angle DBA,~\frac{BO}{AB}=\frac{\frac{x\sqrt{2}}{2}}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}~\mbox{и}~\frac{AB}{BD}=\frac{x}{\frac{x\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
причём коэффициент подобия равен \frac{1}{\sqrt{2}}
. Следовательно,
AO=AD\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.