9677. Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 14 и апофемой 12?
Ответ. 7\sqrt{2}
.
Решение. Диаметр 2r
искомого шара не может быть меньше диагонали основания пирамиды, т. е. r\geqslant14\sqrt{2}
. Значит, r\geqslant7\sqrt{2}
. С другой стороны, если высота пирамиды равна h
, то
h=\sqrt{12^{2}-7^{2}}=\sqrt{5\cdot19}=\sqrt{95}\lt\sqrt{98}=2\sqrt{7}.
Следовательно, вершина пирамиды (как и вершины основания) принадлежит шару радиуса 2\sqrt{7}
, т. е. наименьший радиус равен 2\sqrt{7}
.