9701. Точка M
— середина ребра BP
правильного октаэдра SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми AM
и SB
.
Ответ. \arctg\sqrt{2}=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}
, \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда O
— середина отрезка SP
, а OM
— средняя линия прямоугольного равнобедренного треугольника SBP
, поэтому OM\parallel SB
. Значит, угол \alpha
между скрещивающимися прямыми AM
и SB
равен углу между пересекающимися прямыми AM
и OM
, т. е. углу AMO
.
Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle AMO=\frac{AO}{OM}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.
Отрезок BM
лежит на катете BP
равнобедренного прямоугольного треугольника SBP
, поэтому BM\perp SB
, а так как AM
— медиана равностороннего треугольника ABP
, то BM\perp AM
. Значит, BM
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AM
и SB
. Следовательно, расстояние между прямыми равно длине этого отрезка, т. е. \frac{1}{2}
.