9702. Точки M
и N
— середины рёбер AD
и SC
правильного октаэдра SABCDP
с ребром 1 (ABCD
— квадрат). Найдите угол и расстояние между прямыми PM
и BN
.
Ответ. 60^{\circ}
; \sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
, L
— середина ребра BC
. Диагонали SP
и ML
четырёхугольника MSLP
точкой O
пересечения делятся пополам, значит, MSLP
— параллелограмм. Следовательно, SL\parallel PM
. Тогда угол \alpha
между скрещивающимися прямыми PM
и BN
равен углу между пересекающимися прямыми SL
и BN
, т. е. углу BGL
, где G
— центр равностороннего треугольника BSC
. Таким образом, \alpha=60^{\circ}
.
Поскольку SC\parallel AP
(как противоположные стороны квадрата ASCP
) и BC\parallel AD
, то плоскости APD
и BSC
параллельны (см. задачу 8008). Значит, расстояние d
между скрещивающимися прямыми PM
и DN
, лежащими в плоскостях APD
и BSC
соответственно, равно расстоянию между этими плоскостями (см. примечание к задаче 7889), т. е. удвоенному расстоянию от точки O
до плоскости BSC
.
Точка G
— центр основания BSC
правильной треугольной пирамиды OBSC
, значит, OG
— перпендикуляр к плоскости BSC
, а так как OG
— высота прямоугольного треугольника SOL
, проведённая из вершины прямого угла, то
OG=\frac{SO\cdot OL}{SL}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
d=2OG=\sqrt{\frac{2}{3}}.