9723. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния 2 и \sqrt{12}
соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой
Ответ. 374,12 (точное значение 216\sqrt{3}
).
Решение. Рассмотрим сечение пирамиды SABC
, проходящее через боковое ребро SA
и апофему SD
пирамиды, лежащую в противоположной грани. Пусть SH
— высота пирамиды, HP
и HQ
— перпендикуляры, опущенные из точки H
на прямые SD
и SA
соответственно. Тогда расстояния от точки H
до плоскости грани BSC
и до ребра SA
равны длинам отрезков HP=4
и HQ=4\sqrt{3}
соответственно (по теореме о средней линии треугольника).
Обозначим SD=a
, SA=b
, HD=t
, \angle SDH=\alpha
. Тогда AH=2t
,
\frac{S_{\triangle SDH}}{S_{\triangle SAH}}=\frac{HD}{HA}=\frac{1}{2}~\mbox{и}~\frac{S_{\triangle SDH}}{S_{\triangle SAH}}=\frac{4a}{4b\sqrt{3}},
поэтому \frac{a}{b\sqrt{3}}=\frac{1}{2}
. Отсюда получаем, что b=\frac{2a}{\sqrt{3}}
По теореме Пифагора
SA^{2}-AH^{2}=SD^{2}-DH^{2},~\mbox{или}~~b^{2}-4t^{2}=a^{2}-t^{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{4a^{2}}{3}-4t^{2}=a^{2}-t^{2}~\Rightarrow~\frac{4a^{2}}{3}-4t^{2}=a^{2}-t^{2}~\Rightarrow~a=3t.
Значит,
\cos\alpha=\frac{DH}{SD}=\frac{t}{a}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3},~\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\tg\alpha=2\sqrt{2},
t=DH=\frac{HP}{\sin\alpha}=\frac{4}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=3\sqrt{2},~AD=3t=9\sqrt{2},~
SH=DH\tg\alpha=t\tg\alpha=3\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=12.
Из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
BD=DH\tg60^{\circ}=t\sqrt{3}=3\sqrt{6},
поэтому BC=2BD=6\sqrt{6}
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{6}\cdot3t=3\sqrt{6}\cdot9\sqrt{2}=54\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=18\sqrt{3}\cdot12=216\sqrt{3}.