9741. В треугольной пирамиде SABC
все рёбра равны l
. На ребре SA
взята такая точка M
, что SM=\frac{1}{4}l
, на ребре SB
взята точка N
, а на плоскости ABC
взята точка P
. Найдите наименьшее значение суммы отрезков MN
и NP
.
Ответ. \frac{l}{8}\left(1+7\sqrt{\frac{2}{3}}\right)
.
Решение. Заметим, что какая бы ни была сумма MN+NP
, её можно уменьшить, заменив NP
перпендикуляром из точки N
на плоскость ABC
. Значит, можно считать, что P
— ортогональная проекция точки N
на плоскость ABC
. Тогда точка P
лежит на медиане BE
равностороннего треугольника ABC
. Найдём кратчайшее расстояние от данной точки M
до прямой BE
по поверхности двугранного угла, образованного плоскостями ABS
и BSE
, т. е. расстояние от точки до прямой на развёртке этого двугранного угла на плоскость ASE
.
Рассмотрим выпуклый четырёхугольник BESA_{1}
, где BSA_{1}
— равносторонний треугольник со стороной l
, а точки A_{1}
и E
лежат по разные стороны от прямой SB
. На отрезке SA_{1}
отметим точку M_{1}
, для которой SM_{1}=\frac{1}{4}l
. Кратчайшее расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, поэтому сумма MN+NP=M_{1}N+NP
минимальна тогда и только тогда точка P
совпадает с основанием P_{1}
перпендикуляра, опущенного из точки M_{1}
на прямую BE
. При этом точка N
совпадает с точкой Q
пересечения этого перпендикуляра с отрезком SB
.
Обозначим \angle SBE=\alpha
. Из прямоугольного треугольника SOB
находим, что
\cos\alpha=\frac{BO}{SB}=\frac{\frac{l}{\sqrt{3}}}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда \sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
.
Пусть SK
— высота треугольника M_{1}SQ
. Тогда
M_{1}K=SM_{1}\sin\angle KSM_{1}=\frac{1}{4}l\cdot\sin(60^{\circ}-\angle BSK)=\frac{1}{4}l\sin(60^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{4}l(\sin60^{\circ}\cos\alpha-\cos60^{\circ}\sin\alpha)=\frac{1}{4}l\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{8}l\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
Следовательно, искомая наименьшая сумма равна
M_{1}K+KP_{1}=M_{1}K+SO=\frac{1}{8}l\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)+l\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{l}{8}\left(1+7\sqrt{\frac{2}{3}}\right).
Примечание. См. статью П.Горнштейна, В.Полонского и М.Якира «Геометрические решения экстремальных геометрических задач», Квант, 1992, N9, с.59-63.