9743. В треугольной пирамиде SABC
боковое ребро SA
перпендикулярно основанию ABC
. Известно, что биссектрисы плоских углов BAC
и BSC
пересекаются. Докажите, что углы ABC
и ACB
равны.
Решение. Пусть биссектрисы плоских углов BAC
и BSC
пересекаются в точке D
, лежащей на ребре BC
. По свойству биссектрисы треугольника
BD:DC=AB:AC~\mbox{и}~BD:DC=SB:SC.
Следовательно, AB:AC=SB:SC
. Перепишем эту пропорцию в виде AB:SB=AC:SC
. Тогда в прямоугольных треугольниках SAB
и SAC
равны косинусы острых углов ABS
и ACS
, поэтому равны и сами углы. Значит, эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу. Тогда, AB=AC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный. Следовательно, \angle ABC=\angle ACB
.