9758. В основании прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит равнобедренный треугольник ABC
с равными сторонами AB
и BC
. Точки K
и M
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и AC
соответственно.
а) Докажите, что KM=KB
.
б) Найдите угол между прямой KM
и плоскостью ABB_{1}
, если AB=6
, AC=8
и AA_{1}=3
.
Ответ. \arcsin\frac{3\sqrt{11}}{8\sqrt{5}}
.
Решение. а) Пусть L
— середина ребра AB
. Треугольник AMB
прямоугольный, поэтому его медиана LM
равна половине гипотенузы (см. задачу 1109) и равна LB
. Из равенства прямоугольных треугольников KLM
и KLB
(по двум катетам) следует, что KM=KB
.
б) Пусть MH
— высота в треугольнике AMB
. Прямая MH
перпендикулярна прямым AB
и BB_{1}
, следовательно она перпендикулярна плоскости ABB_{1}
, поэтому угол HKM
— искомый. Вычисляя двумя способами площадь треугольника AMB
, получим, что MH\cdot AB=MA\cdot MB
, откуда
MH=\frac{MA\cdot MB}{AB}=\frac{MA\cdot\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}}{AB}=\frac{3\cdot\sqrt{8^{2}-3^{2}}}{8}=\frac{3\sqrt{55}}{8}.
Следовательно,
\sin\angle HKM=\frac{HM}{KM}=\frac{HM}{\sqrt{KL^{2}+LM^{2}}}=\frac{3\sqrt{55}}{8\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{3\sqrt{55}}{40}=\frac{3\sqrt{11}}{8\sqrt{5}}.