9772. Ортогональные проекции на плоскости всех граней треугольной пирамиды отрезка, соединяющего середины противоположных рёбер, равны. Докажите, что таким же свойством обладает и любой из двух других отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер пирамиды.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида, K
и M
— середины рёбер BD
и AC
соответственно, точки K_{1}
и K_{2}
— ортогональные проекции точки K
на плоскости ABC
и ACD
соответственно, точки M_{1}
и M_{2}
— ортогональные проекции точки M
на плоскости ABD
и BCD
соответственно, и при этом
KM_{1}=KM_{2}=MK_{1}=MK_{2}.
Тогда прямоугольные треугольники KM_{1}M
, KM_{2}M
, MK_{1}K
и MK_{2}K
равны по общей гипотенузе KM
и катету. Значит,
MM_{1}=MM_{2}=KK_{1}=KK_{2}.
Тогда по теореме о средней линии треугольника равны все четыре высоты треугольной пирамиды. Обратно, из равенства высот пирамиды следует равенство расстояний от середин L
и N
рёбер AB
и CD
соответственно, до плоскостей ACD
, BCD
, ABC
и ABD
соответственно, а значит, и ортогональных проекций отрезков LN
на плоскости всех граней пирамиды. Аналогично для отрезка, соединяющего середины рёбер AD
и BC
.