9790. Ребро куба равно a
. Найдите радиус сферы, касающейся всех рёбер одного из трёхгранных углов куба с вершиной в одном конце диагонали и касающейся всех граней трёхгранного угла с вершиной в другом конце этой диагонали.
Ответ. a(2-\sqrt{2})
.
Решение. Пусть сфера с центром O
и радиусом R
касается рёбер AB
, AD
и AA_{1}
трёхгранного угла ABDA_{1}
с вершиной A
, а также граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, C_{1}D_{1}DC
и C_{1}CBB_{1}
трёхгранного угла C_{1}CB_{1}D_{1}
с вершиной C_{1}
. Обозначим через M
точку касания сферы с ребром AB
, а через N
— точку касания с гранью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Центр O
сферы лежит на диагонали AC_{1}=a\sqrt{3}
куба, а точка N
— на диагонали A_{1}C_{1}=a\sqrt{2}
грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Из прямоугольных треугольников OAM
и OCN
получаем, что
OA=\frac{OM}{\sin\angle OAM}=\frac{OM}{\sin\angle C_{1}AB}=\frac{OM}{\frac{BC_{1}}{AC_{1}}}=\frac{R}{\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}}=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}},
OC_{1}=\frac{ON}{\sin\angle OC_{1}N}=\frac{ON}{\sin\angle AC_{1}A_{1}}=\frac{ON}{\frac{AA_{1}}{AC_{1}}}=\frac{R}{\frac{a}{a\sqrt{3}}}=R\sqrt{3}.
Точка O
лежит на отрезке AC_{1}
, поэтому
OA+OC_{1}=AC_{1},~\mbox{или}~\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+R\sqrt{3}=a\sqrt{3}.
Из этого уравнения находим, что R=a(2-\sqrt{2})
.