9797. Точка M
— середина ребра C_{1}D_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Постройте сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через его диагональ AC_{1}
параллельно прямой CM
.
Решение. На продолжении ребра CD
за точку C
отложим отрезок CK=\frac{1}{2}CD=C_{1}M
. Тогда CKC_{1}D_{1}
— параллелограмм, поэтому KC_{1}\parallel CM
, поэтому прямая C_{1}K
(а значит, и точка K
) лежит в плоскости сечения.
Пусть прямая AK
, лежащая в секущей плоскости, пересекает ребро BC
в точке N
, а прямая, проходящая через точку C_{1}
параллельно AC
, пересекает ребро A_{1}D_{1}
в точке L
. Тогда четырёхугольник ANC_{1}L
— искомое сечение. Этот четырёхугольник — параллелограмм, так как C_{1}L\parallel AN
по построению, а AL\parallel C_{1}N
по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009).
Докажем, что параллелограмм ANC_{1}L
— искомое сечение. Действительно, плоскость построенного сечения проходит через прямую DB_{1}
и содержит прямую D_{1}K
, параллельную AD
.
Примечание. Легко получить, что A_{1}L:LD_{1}=CN:NB=1:2
.