9800. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
, в котором AB=17
, AC=10
, BD=9
. Высота пирамиды проходит через центр O
параллелограмма и равна 30. Через точку A
параллельно прямой BD
проведена плоскость, делящая высоту пирамиды в отношении 4:1
, считая от вершины пирамиды. Найдите площадь сечения.
Ответ. 60.
Решение. Пусть E
— точка пересечения секущей плоскости с высотой SO
пирамиды, K
— точка пересечения прямой AE
с ребром SC
. Тогда K
— точка пересечения секущей плоскости с ребром SC
.
Плоскость BSD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку E
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку E
параллельно BD
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает ребра SB
и SD
в точках M
и N
соответственно. Тогда рассматриваемое сечение — четырёхугольник AMKN
. По теореме Фалеса
\frac{SM}{MB}=\frac{SN}{ND}=\frac{SE}{EO}=4.
Через вершину S
параллельно AC
проведём прямую и продолжим отрезок AK
до пересечения с ней в точке T
. Треугольник TES
подобен треугольнику AOE
с коэффициентом \frac{SE}{EO}=4
, поэтому ST=4AO=2AC
. Треугольник TKS
подобен треугольнику AKC
, с коэффициентом \frac{ST}{AC}=2
, поэтому \frac{AK}{KC}=2
.
Пусть K'
, M'
и N'
— ортогональные проекции точек соответственно K
, M
и N
на плоскость основания пирамиды. Поскольку SO
— высота пирамиды, эти точки лежат на отрезках OC
, BO
и DO
соответственно, причём
\frac{OK'}{K'C}=\frac{SK}{KC}=2,~\frac{DN'}{N'O}=\frac{BM'}{M'O}=\frac{BM}{MS}=\frac{1}{4}.
Пусть угол между плоскостью основания пирамиды и секущей плоскостью равен \alpha
. Четырёхугольник AM'K'N'
— ортогональная проекция сечения AMKN
на плоскость основания пирамиды, поэтому
S_{AMKN}=\frac{S_{AM'K'N'}}{\cos\alpha}
(см. задачу 8093).
По формуле Герона
S_{\triangle ABD}=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=9\cdot4=36.
Тогда
S_{AM'K'N'}=S_{M'AN'}+S_{\triangle M'K'N'}=
=\frac{M'N'}{BD}S_{\triangle ABD}+\frac{M'N'}{BD}\cdot\frac{OK'}{OC}S_{\triangle ABD}=\frac{8}{10}\cdot36+\frac{8}{10}\cdot\frac{2}{3}\cdot36=\frac{4}{5}(36+24)=48.
Пусть h
— высота треугольника ABD
, проведённая из вершины A
. Тогда BD\cdot h=2S_{\triangle ABD}
, или 9h=72
, откуда h=8
.
Через точку O
параллельно прямой BD
проведём прямую и опустим на неё перпендикуляр OH
из центра параллелограмма. Тогда OH=h=8
. По теореме о трёх перпендикулярах EH\perp AH
, поэтому \angle OHE=\alpha
. Из прямоугольного треугольника OHE
находим, что
\tg\alpha=\frac{EO}{OH}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Тогда \cos\alpha=\frac{4}{5}
. Следовательно,
S_{AMKN}=\frac{S_{AM'K'N'}}{\cos\alpha}=\frac{48}{\frac{4}{5}}=60.