9802. Ребро куба равно a
. Найдите длину заключённого внутри вписанного в куб шара отрезка прямой, проходящей через середины двух скрещивающихся рёбер куба.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AD
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
, O
— центр вписанного шара, K
— центр грани ABCD
. Радиус шара равен половине ребра куба, т. е. \frac{a}{2}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника OKM
находим, что OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}
, а из прямоугольника CKON
— ON=KC=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. Значит, треугольник MON
равнобедренный с основанием MN
.
Из прямоугольных треугольников CDM
и MCN
находим, что
CM^{2}=CD^{2}+DM^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{5a^{2}}{4},
MN=\sqrt{CM^{2}+CN^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Пусть P
и Q
— точки пересечения отрезка MN
со сферой, OH
— перпендикуляр к хорде PQ
. Тогда H
середина PQ
, а так как треугольник MON
равнобедренный, то H
— середина PQ
. Из прямоугольных треугольников OHM
и OHP
находим, что
OH^{2}=OM^{2}-HM^{2}=OM^{2}-\frac{1}{4}MN^{2}=\frac{a^{2}}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{3a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{8},
PH=\sqrt{OP^{2}-OH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{8}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}.
Следовательно,
PQ=2PH=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.